En rationell funktion är en ekvation som har formen y = N (x)/D (x) där N och D är polynom. Att försöka skissa en korrekt graf för en för hand kan vara en omfattande granskning av många av de viktigaste gymnasiematematikämnena från grundläggande algebra till differentialräkning. Tänk på följande exempel: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Steg
Steg 1. Hitta y -avlyssningen
Helt enkelt ange x = 0. Allt utom de konstanta termerna försvinner och lämnar y = 5/2. Att uttrycka detta som ett koordinatpar, (0, 5/2) är en punkt i diagrammet. Graf den punkten.
Steg 2. Hitta den horisontella asymptoten
Dela nämnaren i täljaren för att bestämma beteendet för y för stora absoluta värden på x. I detta exempel visar division att y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). För stora positiva eller negativa värden på x närmar sig 17/(8 x + 4) noll, och grafen approximerar raden y = (1/2) x - (7/4). Använd en streckad eller lättritad linje, grafera den här linjen.
- Om täljarens grad är mindre än nämnarens grad finns det ingen uppdelning att göra, och asymptoten är y = 0.
- Om deg (N) = deg (D) är asymptoten en horisontell linje i förhållandet mellan de ledande koefficienterna.
- Om deg (N) = deg (D) + 1 är asymptoten en linje vars lutning är förhållandet mellan de ledande koefficienterna.
- Om deg (N)> deg (D) + 1, då för stora värden på | x |, y går snabbt till positiv eller negativ oändlighet som en kvadratisk, kubisk eller högre grad polynom. I det här fallet är det förmodligen inte värt att exakt grafa divisionens kvot.
Steg 3. Hitta nollorna
En rationell funktion har en nolla när täljaren är noll, så ställ in N (x) = 0. I exemplet 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminanten av denna kvadratiska är b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Eftersom diskriminanten är negativ har N (x) och följaktligen f (x) inga riktiga rötter. Diagrammet korsar aldrig x -axeln. Om några nollor hittades, lägg till dessa punkter i diagrammet.
Steg 4. Hitta de vertikala asymptoterna
En vertikal asymptot uppstår när nämnaren är noll. Inställning 4 x + 2 = 0 ger den vertikala linjen x = -1/2. Grafera varje vertikal asymptot med en ljus eller streckad linje. Om något värde av x gör både N (x) = 0 och D (x) = 0, kan det finnas en vertikal asymptot där eller inte. Detta är sällsynt, men se tipsen för hur man hanterar det om det inträffar.
Steg 5. Titta på resten av divisionen i steg 2
När är det positivt, negativt eller noll? I exemplet är täljaren för resten 17 vilket alltid är positivt. Nämnaren, 4 x + 2, är positiv till höger om den vertikala asymptoten och negativ till vänster. Detta innebär att grafen närmar sig den linjära asymptoten från ovan för stora positiva värden på x och underifrån för stora negativa värden på x. Eftersom 17/(8 x + 4) aldrig kan vara noll, skär denna graf aldrig raden y = (1/2) x - (7/4). Lägg inte till något i diagrammet just nu, men notera dessa slutsatser för senare.
Steg 6. Hitta det lokala extrema
Ett lokalt extremum kan uppstå när N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. I exemplet är N '(x) = 4 x - 6 och D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Expandera, kombinera termer och dela med 4 blad x 2 + x - 4 = 0. Den kvadratiska formeln visar rötter nära x = 3/2 och x = -5/2. (Dessa skiljer sig med cirka 0,06 från de exakta värdena, men vårt diagram kommer inte att vara tillräckligt noggrant för att oroa sig för den detaljnivån. Att välja en anständig rationell approximation gör nästa steg enklare.)
Steg 7. Hitta y -värdena för varje lokal extremum
Anslut x -värdena från föregående steg tillbaka till den ursprungliga rationella funktionen för att hitta motsvarande y -värden. I exemplet är f (3/2) = 1/16 och f (-5/2) = -65/16. Lägg till dessa punkter (3/2, 1/16) och (-5/2, -65/16) i diagrammet. Eftersom vi approximerade i föregående steg är dessa inte de exakta minima och maxima, men är förmodligen nära. (Vi vet (3/2, 1/16) är mycket nära det lokala minimumet. Från steg 3 vet vi att y alltid är positivt när x> -1/2 och vi hittade ett värde så litet som 1/16, så åtminstone i det här fallet är felet förmodligen mindre än linjens tjocklek.)
Steg 8. Anslut punkterna och förläng grafen smidigt från de kända punkterna till asymptoterna och var noga med att närma dem från rätt riktning
Var försiktig så att du inte korsar x -axeln förutom vid de punkter som redan finns i steg 3. Korsa inte den horisontella eller linjära asymptoten förutom vid de punkter som redan finns i steg 5. Ändra inte från uppåtlutande till nedåtlutande förutom vid det extrema som hittades i föregående steg.
Video - Genom att använda denna tjänst kan viss information delas med YouTube
Tips
- Några av dessa steg kan innebära att en höggradig polynom löses. Om du inte kan hitta exakta lösningar genom faktorisering, formler eller andra medel, uppskatta sedan lösningarna med hjälp av numeriska tekniker som Newtons metod.
- Om du följer stegen i ordning är det vanligtvis inte nödvändigt att använda andra derivattester eller liknande potentiellt komplicerade metoder för att avgöra om de kritiska värdena är lokala maxima, lokala minima eller inte heller. Försök att använda informationen från tidigare steg och lite logik först.
- Om du bara försöker göra detta med precalculus -metoder kan du ersätta stegen om att hitta det lokala extrema genom att beräkna flera (x, y) ordnade par mellan varje par asymptoter. Alternativt, om du inte bryr dig om varför det fungerar, finns det ingen anledning till att en precalculusstudent inte kan ta derivatet av ett polynom och lösa N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
I sällsynta fall kan täljaren och nämnaren ha en gemensam icke -konstant faktor. Om du följer stegen visas detta som en noll och en vertikal asymptot på samma plats. Det är omöjligt och det som faktiskt händer är något av följande:
- Nollan i N (x) har högre mångfald än nollan i D (x). Grafen för f (x) närmar sig noll vid denna punkt, men är odefinierad där. Ange detta med en öppen cirkel runt punkten.
- Nollan i N (x) och nollan i D (x) har lika stor mångfald. Diagrammet närmar sig någon icke-nollpunkt för detta värde av x, men är odefinierat där. Återigen ange detta med en öppen cirkel.
- Nollan i N (x) har lägre multiplicitet än nollan i D (x). Det finns en vertikal asymptot här.
