Hur man ritar en kvadratisk ekvation: 10 steg (med bilder)

2024 Författare: Robert Blare | [email protected]. Senast ändrad: 2024-02-02 02:08

När den är grafisk, kvadratiska ekvationer av formen yxa² + bx + c eller a (x - h)² + k ge en slät U-formad eller en omvänd U-formad kurva kallad en parabel. Att rita en kvadratisk ekvation handlar om att hitta dess toppunkt, riktning och ofta dess x- och y -avlyssningar. I fallet med relativt enkla kvadratiska ekvationer kan det också vara tillräckligt att koppla in ett intervall av x -värden och plotta en kurva baserat på de resulterande punkterna. Se steg 1 nedan för att komma igång.

Steg

Steg 1. Bestäm vilken form av kvadratisk ekvation du har

Den kvadratiska ekvationen kan skrivas i tre olika former: standardformen, vertexformen och den kvadratiska formen. Du kan använda endera formen för att rita en kvadratisk ekvation; processen för att rita varje är något annorlunda. Om du gör ett läxeproblem får du vanligtvis problemet i en av dessa två former - med andra ord kommer du inte att kunna välja, så det är bäst att förstå båda. De två formerna av kvadratisk ekvation är:

• Standardformulär.

  I denna form skrivs den kvadratiska ekvationen som: f (x) = ax² + bx + c där a, b och c är reella tal och a inte är lika med noll.

  Exempelvis är två kvadratiska ekvationer i standardform f (x) = x² + 2x + 1 och f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex form.

  I denna form skrivs den kvadratiska ekvationen som: f (x) = a (x - h)² + k där a, h och k är reella tal och a är inte lika med noll. Vertexformen heter så eftersom h och k ger dig direkt hörnet (mittpunkten) på din parabel vid punkten (h, k).

  Två ekvivalenta formekvationer är f (x) = 9 (x - 4)² + 18 och -3 (x - 5)² + 1

• För att rita en av dessa typer av ekvationer måste vi först hitta hörnet för parabeln, som är den centrala punkten (h, k) vid kurvens "spets". Koordinaterna för hörnpunkten i standardform ges av: h = -b/2a och k = f (h), medan i hörnform, h och k specificeras i ekvationen.

Steg 2. Definiera dina variabler

För att kunna lösa ett kvadratiskt problem behöver variablerna a, b och c (eller a, h och k) vanligtvis definieras. Ett genomsnittligt algebraproblem ger dig en kvadratisk ekvation med de ifyllda variablerna, vanligtvis i standardform, men ibland i toppunktsform.

• Till exempel, för standardformelekvationen f (x) = 2x² + 16x + 39, vi har a = 2, b = 16 och c = 39.
• För toppunktformen ekvation f (x) = 4 (x - 5)² + 12, vi har a = 4, h = 5 och k = 12.

Steg 3. Beräkna h

I toppformsekvationer är ditt värde för h redan angivet, men i standardformelekvationer måste det beräknas. Kom ihåg att för standardformelekvationer, h = -b/2a.

• I vårt standardformulärsexempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). När vi löser, finner vi att h = - 4.
• I vårt vertex -exempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vi vet h = 5 utan att göra någon matte.

Steg 4. Beräkna k

Precis som med h är k redan känt i toppformsekvationer. För standardformatekvationer, kom ihåg att k = f (h). Med andra ord kan du hitta k genom att ersätta varje instans av x i ekvationen med det värde du just hittade för h.

• Vi har i vårt standardformulär bestämt att h = -4. För att hitta k löser vi vår ekvation med vårt värde för att h ersätter x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Steg 7.

• I vårt exempel på vertexform vet vi igen värdet av k (vilket är 12) utan att behöva göra någon matte.

Steg 5. Plotta din toppunkt

Spetsen för din parabel är punkten (h, k) - h anger x -koordinaten, medan k anger y -koordinaten. Spetsen är den centrala punkten i din parabel - antingen längst ner på ett "U" eller toppen av ett upp och ner "U". Att känna till hörnet är en viktig del av att rita en korrekt parabel - ofta i skolarbetet är det nödvändigt att specificera hörnet i en fråga.

• I vårt exempel på standardform kommer vår toppunkt att vara (-4, 7). Så kommer vår parabel att toppa 4 mellanslag till vänster om 0 och 7 mellanslag ovan (0, 0). Vi bör plotta denna punkt på vårt diagram, var noga med att märka koordinater.
• I vårt exempel på vertexform är vårt toppunkt på (5, 12). Vi bör rita en punkt 5 mellanslag till höger och 12 mellanslag ovan (0, 0).

Steg 6. Rita parabelns axel (valfritt)

En parabols symmetriaxel är linjen som går genom dess mitt som delar den perfekt i två. Tvärs över denna axel kommer den vänstra sidan av parabolen att spegla den högra sidan. För kvadratiker av formen ax² + bx + c eller a (x - h)² + k, axeln är en linje parallell med y-axeln (med andra ord perfekt vertikal) och passerar genom hörnet.

När det gäller vårt standardformulexempel är axeln en linje parallell med y-axeln och passerar genom punkten (-4, 7). Även om det inte är en del av parabolen i sig, kan en lätt markering av den här raden i diagrammet så småningom hjälpa dig att se hur parabolen böjer sig symmetriskt

Steg 7. Hitta öppningsriktningen

Efter att ha räknat ut hörnet och axeln för parabolen måste vi sedan veta om parabolen öppnar uppåt eller nedåt. Lyckligtvis är detta enkelt. Om "a" är positivt öppnar parabolen uppåt, medan om "a" är negativt öppnas parabolen nedåt (dvs. den vänds upp och ner.)

• För vårt standardformulärsexempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), vi vet att vi har en parabel som öppnar sig uppåt eftersom, i vår ekvation, a = 2 (positivt).
• För vårt vertex -exempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vi vet att vi också har en parabol öppning uppåt eftersom a = 4 (positivt).

Steg 8. Om det behövs, hitta och rita x avlyssningar

Ofta blir du i skolarbetet ombedd att hitta en parabelns x-avlyssningar (som antingen är en eller två punkter där parabolen möter x-axeln). Även om du inte hittar dem kan dessa två punkter vara ovärderliga för att rita en korrekt parabel. Men inte alla paraboler har x-avlyssningar. Om din parabel har en vertex öppnar sig uppåt och har en vertex ovanför x -axeln eller om den öppnar nedåt och har en vertex under x -axeln, det kommer inte att ha några x avlyssningar. Annars löser du dina x -avlyssningar med någon av följande metoder:

• Ställ bara in f (x) = 0 och lös ekvationen. Denna metod kan fungera för enkla kvadratiska ekvationer, särskilt i vertexform, men kommer att visa sig oerhört svårt för mer komplicerade. Se nedan för ett exempel

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 och 13 är parabelns x-avlyssningar.

• Faktor din ekvation. Några ekvationer i yxan² + bx + c -form kan enkelt räknas in i formen (dx + e) (fx + g), där dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx och e × g = c. I det här fallet är dina x avlyssningar värdena för x som gör endera termen inom parentes = 0. Till exempel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • I det här fallet är din enda x -skärning -1 eftersom inställning x lika med -1 kommer att göra endera av de fakturerade termerna inom parentes lika med 0.

• Använd den kvadratiska formeln. Om du inte enkelt kan lösa för dina x -avlyssningar eller faktor din ekvation, använd en speciell ekvation som kallas den kvadratiska formeln utformad för just detta ändamål. Om det inte redan är det, lägg in din ekvation i formaxen² + bx + c, anslut sedan a, b och c till formeln x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Observera att detta ofta ger dig två svar för x, vilket är OK - det betyder bara att din parabel har två x avlyssningar. Se nedan för ett exempel:

  • -5x² + 1x + 10 kopplas in i den kvadratiska formeln enligt följande:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) och (-15,18/-10). Parabolens x avlyssningar är ungefär x = - 1.318 och 1.518
  • Vårt tidigare standardformulär, 2x² + 16x + 39 kopplas in i den kvadratiska formeln enligt följande:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Eftersom det är omöjligt att hitta kvadratroten på ett negativt tal, vet vi det inga x avlyssningar finns för just denna parabel.

Steg 9. Om det behövs, hitta och plotta y -avlyssningen

Även om det ofta inte är nödvändigt att hitta en ekvations y -avlyssning (den punkt där parabolen passerar genom y -axeln), kan du så småningom bli tvungen, särskilt om du går i skolan. Denna process är ganska enkel - ställ bara in x = 0, lös sedan ekvationen för f (x) eller y, vilket ger dig y -värdet vid vilket din parabel går genom y -axeln. Till skillnad från x -avlyssningar kan standardparaboler bara ha en y -avlyssning. Obs - för standardformelekvationer är y -avlyssningen y = c.

• Till exempel vet vi vår kvadratiska ekvation 2x² + 16x + 39 har ett y -avsnitt vid y = 39, men det kan också hittas enligt följande:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabelns y -avlyssning är vid y = 39.

    Som nämnts ovan är y -avlyssningen vid y = c.

• Vår toppunkt form ekvation 4 (x - 5)² + 12 har en y -skärning som kan hittas enligt följande:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabelns y -avlyssning är vid y = 112.

Steg 10. Plotta vid behov ytterligare punkter och grafa sedan

Du bör nu ha en toppunkt, riktning, x -avlyssning (er) och, möjligen, en y -avlyssning för din ekvation. Vid denna tidpunkt kan du antingen försöka rita din parabel med de punkter du har som riktlinje, eller så kan du hitta fler punkter för att "fylla i" din parabel så att kurvan du ritar blir mer exakt. Det enklaste sättet att göra detta är helt enkelt att koppla in några x -värden på vardera sidan av din hörn och sedan plotta dessa punkter med de y -värden du får. Lärare kräver ofta att du får ett visst antal poäng innan du ritar din parabel.

• Låt oss gå tillbaka till ekvationen x² + 2x + 1. Vi vet redan att dess enda x -avlyssning är x = -1. Eftersom det bara vidrör x-avlyssningen vid en punkt, kan vi dra slutsatsen att dess hörn är dess x-avlyssning, vilket betyder att dess hörn är (-1, 0). Vi har faktiskt bara en poäng för denna parabel - inte tillräckligt nära för att dra en bra parabel. Låt oss hitta några fler för att se till att vi ritar ett korrekt diagram.

  • Låt oss hitta y -värdena för följande x -värden: 0, 1, -2 och -3.
  • För 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Vår poäng är (0, 1).

  • För 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Vår poäng är (1, 4).

  • För -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Vår poäng är (-2, 1).

  • För -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Vår poäng är (-3, 4).

  • Plotta dessa punkter i diagrammet och rita din U-formade kurva. Observera att parabolen är helt symmetrisk - när dina punkter på ena sidan av parabolen ligger på hela tal kan du vanligtvis spara dig lite arbete genom att helt enkelt reflektera en given punkt över parabelns symmetriaxel för att hitta motsvarande punkt på andra sidan av parabeln.

Video - Genom att använda denna tjänst kan viss information delas med YouTube

Tips

• Observera att i f (x) = ax² + bx + c, om b eller c är lika med noll försvinner dessa siffror. Till exempel 12x² + 0x + 6 blir 12x² + 6 eftersom 0x är 0.
• Avrunda siffror eller använd bråk som din algebralärare säger till dig. Detta hjälper dig att rita dina kvadratiska ekvationer korrekt.