En parabel är ett diagram över en kvadratisk funktion och det är en slät "U" -formad kurva. Paraboler är också symmetriska vilket innebär att de kan vikas längs en linje så att alla punkter på ena sidan av viklinjen sammanfaller med motsvarande punkter på andra sidan av viklinjen. Viklinjen, kallad symmetriaxeln, är den vertikala linjen som går genom verexen. Varje punkt på parabolen är lika långt från en fast punkt (fokus) och en fast rak linje (directrix). För att rita en parabel måste du hitta dess hörn samt flera punkter på vardera sidan av hörnet för att markera den väg som punkterna går.
Steg
Del 1 av 2: Diagram över en parabel
Steg 1. Förstå delarna av en parabel
Du kan få viss information innan du börjar, och att känna till terminologin hjälper dig att undvika onödiga steg. Här är de delar av parabolen som du behöver veta:
- Fokuset. En fast punkt på det inre av parabolen som används för den formella definitionen av kurvan.
- Directrix. En fast, rak linje. Parabolen är locus (serie) av punkter där en given punkt är lika långt från fokus och direktrix. (Se diagrammet ovan.)
- Symmetriaxeln. Detta är en rak linje som passerar genom parabelns vändpunkt ("hörn") och är lika långt från motsvarande punkter på parabelns två armar.
- Spetsen. Den punkt där symmetriaxeln korsar parabeln kallas parabelns hörn. Om parabolen öppnas uppåt eller till höger är toppunkten en minimipunkt för kurvan. Om den öppnas nedåt eller till vänster är toppunkten en maximal punkt.
Steg 2. Känn ekvationen för en parabel
Den allmänna ekvationen för en parabel är y = ax2+ bx + c. Det kan också skrivas i den ännu mer allmänna formen y = a (x - h) ² + k, men vi kommer här att fokusera på ekvationens första form.
- Om koefficienten a i ekvationen är positiv, öppnar parabolen uppåt (i en vertikalt orienterad parabel), som bokstaven "U", och dess toppunkt är en minsta punkt. Om a är negativ öppnar parabolen nedåt och har en toppunkt vid sin maximala punkt. Om du har svårt att komma ihåg detta, tänk på det så här: en ekvation med ett positivt värde ser ut som ett leende; en ekvation med ett negativt ett värde ser ut som en rynka.
- Låt oss säga att du har följande ekvation: y = 2x2 -1. Denna parabel kommer att formas som ett "U" eftersom a -värdet (2) är positivt.
- Om ekvationen har en kvadratisk y -term istället för en kvadratisk x -term, kommer parabolen att orienteras horisontellt och öppnas i sidled, till höger eller vänster, som ett "C" eller ett bakåt "C." Till exempel parabolen y2 = x + 3 öppnas till höger, som ett "C."
Steg 3. Hitta symmetriaxeln
Kom ihåg att symmetriaxeln är den raka linje som passerar genom parabelns vändpunkt (hörn). När det gäller en vertikal parabel (öppnar upp eller ner) är axeln densamma som vertexets x-koordinat, vilket är x-värdet för den punkt där symmetriaxeln korsar parabolen. För att hitta symmetriaxeln, använd denna formel: x = -b/2a.
- I exemplet ovan (y = 2x² -1), a = 2 och b = 0. Nu kan du beräkna symmetriaxeln genom att koppla in siffrorna: x = -0 / (2) (2) = 0.
- I detta fall är symmetriaxeln x = 0 (vilket är koordinatplanets y-axel).
Steg 4. Hitta hörnet
När du väl känner till symmetriaxeln kan du koppla in det värdet för x för att få y -koordinaten. Dessa två koordinater ger dig hörnet för parabolen. I det här fallet skulle du ansluta 0 till 2x2 -1 för att få y -koordinaten. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Spetsen är (0, -1), och parabolen korsar y -axeln vid -1.
Koordinaterna för hörnpunkten är ibland kända som (h, k). I detta fall är h 0 och k är -1. Ekvationen för parabolen kan skrivas i formen y = a (x - h) ² + k. I denna form är toppunkten punkten (h, k), och du behöver inte göra någon matte för att hitta toppunkten utöver att tolka grafen korrekt
Steg 5. Sätt upp en tabell med valda värden på x
Skapa en tabell med särskilda värden på x i den första kolumnen. Denna tabell ger dig koordinaterna du behöver för att rita ekvationen.
- Mittvärdet för x bör vara symmetriaxeln vid en "vertikal" parabel.
- Du bör inkludera minst två värden ovanför och under mittvärdet för x i tabellen för symmetriens skull.
- I det här exemplet sätter du värdet på symmetriaxeln (x = 0) i mitten av tabellen.
Steg 6. Beräkna värdena för motsvarande y-koordinater
Ersätt varje värde av x i parabelns ekvation och beräkna motsvarande värden på y. Sätt in dessa beräknade värden på y i tabellen. I det här exemplet beräknas värdena för y enligt följande:
- För x = -2 beräknas y som: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- För x = -1 beräknas y som: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- För x = 0 beräknas y som: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- För x = 1 beräknas y som: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- För x = 2 beräknas y som: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Steg 7. Infoga de beräknade värdena för y i tabellen
Nu när du har hittat minst fem koordinatpar för parabolen är du nästan redo att rita den. Baserat på ditt arbete har du nu följande punkter: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Kom ihåg att parabolen reflekteras (symmetrisk) med avseende på symmetriaxeln. Detta innebär att y -koordinaterna för punkter direkt över symmetriaxeln från varandra kommer att vara desamma. Y-koordinaterna för x-koordinaterna -2 och +2 är båda 7; y-koordinaterna för x-koordinaterna -1 och +1 är båda 1 och så vidare.
Steg 8. Plotta tabellpunkterna på koordinatplanet
Varje rad i tabellen bildar ett koordinatpar (x, y) på koordinatplanet. Grafera alla punkter med hjälp av koordinaterna i tabellen.
- X-axeln är horisontell; y-axeln är vertikal.
- De positiva talen på y-axeln är över punkten (0, 0) och de negativa talen på y-axeln är under punkten (0, 0).
- De positiva talen på x-axeln är till höger om punkten (0, 0), och de negativa talen på x-axeln är till vänster om punkten (0, 0).
Steg 9. Anslut punkterna
För att plotta parabolen, anslut punkterna som ritats i föregående steg. Diagrammet i detta exempel kommer att se ut som ett U. Anslut punkterna med något böjda (snarare än raka) linjer. Detta kommer att skapa den mest exakta bilden av parabolen (som åtminstone är något krökt i hela dess längd). I båda ändarna av parabolen kan du rita pilar som pekar bort från hörnet om du vill. Detta kommer att indikera att parabolen fortsätter på obestämd tid.
Del 2 av 2: Växla grafen för en parabel
Om du vill ha en genväg för att flytta en parabel utan att behöva hitta dess toppunkt igen och planera om flera punkter på den, måste du förstå hur man läser ekvationen för en parabel och lära sig att flytta den vertikalt eller horisontellt. Börja med den grundläggande parabolen: y = x2. Detta har sin topp vid (0, 0) och öppnar uppåt. Punkter på den inkluderar (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) och (2, 4). Du kan flytta en parabel utifrån dess ekvation.
Steg 1. Flytta en parabel uppåt
Betrakta ekvationen y = x2 +1. Detta förskjuter den ursprungliga parabolen uppåt 1 enhet. Spetsen är nu (0, 1) istället för (0, 0). Den kommer att behålla den exakta formen på den ursprungliga parabolen, men varje y-koordinat kommer att flyttas uppåt 1 enhet. Så, istället för (-1, 1) och (1, 1), plottar vi (-1, 2) och (1, 2).
Steg 2. Flytta en parabel nedåt
Ta ekvationen y = x2 -1. Vi flyttar den ursprungliga parabolen nedåt 1 enhet, så att toppunktet är nu (0, -1) istället för (0, 0). Den kommer fortfarande att ha samma form som den ursprungliga parabolen, men varje y-koordinat kommer att flyttas nedåt 1 enhet. Så istället för (-1, 1) och (1, 1) plottar vi till exempel (-1, 0) och (1, 0).
Steg 3. Flytta en parabel till vänster
Betrakta ekvationen y = (x + 1)2. Detta förskjuter den ursprungliga parabolen en enhet till vänster. Spetsen är nu (-1, 0) istället för (0, 0). Den behåller formen på den ursprungliga parabolen, men varje x-koordinat flyttas till vänster en enhet. I stället för (-1, 1) och (1, 1) plottar vi till exempel (-2, 1) och (0, 1).
Steg 4. Flytta en parabel till höger
Betrakta ekvationen y = (x - 1)2. Detta är den ursprungliga parabolen som flyttade en enhet till höger. Spetsen är nu (1, 0) istället för (0, 0). Den behåller formen på den ursprungliga parabolen, men varje x-koordinat kommer att flyttas till höger enhet. I stället för (-1, 1) och (1, 1) plottar vi till exempel (0, 1) och (2, 1).
